Smith-Wilson 방법론

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〈 Smith-Wilson 모델을 이용한 할인율 산출예시 K-ICS 2021.12 〉

1. 이론적 배경

Smith-Wilson 모델은 2000년대 초반 Andrew Smith와 Tim Wilson이 개발한 금리 커브 보간 및 외삽 방법론임. 이 방법론은 관측 가능한 시장금리는 그대로 쓰고, 그 이후 구간은 ’장기 금리(LTFR)’로 부드럽게 수렴시키는 곡선을 만들어서 할인율을 만드는 방법으로, 특히 유럽 보험 규제인 Solvency II에서 EIOPA 가 채택해 표준 방법론으로 사용하고 있음. K-ICS에서도 보험부채 평가를 위한 할인율 산출 시 사용되고 있음.

2. 모델의 구성

할인율 함수 $P(t)$ 는 다음과 같이 표현됨:

할인율 함수

P(t) = e^{-LTFR·t} +\sum_{j=1}^N \zeta_j · W(t,u_j)

• $P(t)$ : 만기 t에 대한 할인율(discount factor)
• $LTFR$ : Long Term Forward Rate (UFR:Ultimate Forward Rate)
• $\zeta_j$ : 각 Wilson 함수에 대한 가중치
• $W(t,u_j)$ : Wilson 함수
• $u_j$ : 관찰된 시장 데이터의 만기

Smith-Wilson 방법론의 아이디어

Smith-Wilson 방법론의 핵심 아이디어는 금리 곡선 $P(t)$ 을 두 가지 주요 구성 요소로 나누는 것.

장기수렴점 : $e^{-LTFR·t}$ : LTFR(Long Term Forward Rate)로 수렴하는 장기 균형 성분
시장일관성 : $\sum_{j=1}^N \zeta_j · W(t,u_j)$ : 관찰된 시장 데이터와 일치하도록 하는 조정 성분

이러한 접근법은 장기 금리의 예측 가능성을 높이고, 시장에서 관찰된 금리와의 일치를 보장함. Smith-Wilson 모델은 장기 금리가 충분히 관찰되지 않는 시장에서 유용함. (ex. 보험사의 장기 부채 평가 시 필요한 할인율 구조를 생성 등)

위의 조건을 만족하는 Wilson 함수 W(t,u)는 다음과 같이 정의됨:

Wilson 함수

W(t,u) = e^{-LTFR·(t+u)} · [\alpha·min(t,u) - 0.5·e^{-\alpha·max(t,u)}·(e^{\alpha·min(t,u)}-e^{-\alpha·min(t,u)})]

• $\alpha$ 는 수렴 속도

이러한 수학적 구조를 통해 Smith-Wilson 모델은 관찰된 시장 금리와 정확히 일치하면서도, 장기적으로는 사전에 정의된 LTFR 값으로 부드럽게 수렴하는 금리 곡선을 생성함.

3. Parameter

Smith-Wilson 모델 적용을 위해 아래과 같은 주요 파라미터들을 설정하고 보정해야 함

주요 parameter	설명	Solvency II	K-ICS (보험부채)	K-ICS (자산)
(LTFR)	장기선도금리는 보험부채의 장기적인 특성으로 시장에서 관찰되지 않는 최종관찰만기 이후의 장기금리를 추산	LTFR은 장기 실질 금리(2.2%)와 기대 인플레이션(2%)의 합으로 설정됨	장기선도금리는 실질이자율의 장기평균과 기대인플레이션율의 합으로 산출 - 2024년 : 4.55% - 2025년 : 4.30%	50년 물 YTM 이자지급주기 연2회를 가정
$\alpha$	LTFR로의 수렴 속도를 결정하는 파라미터로, 값이 클수록 수렴이 빠름.	- 일반적으로 0.05~0.15 사이의 값 사용	최초 수렴시점(60y)의 선도금리와 장기목표금리 간의 차이가 1.0bp이내가 되도록 하는 최소값 init alpha=0.001	alpha=0.1
	시장 데이터가 충분히 유동적이고 신뢰할 수 있다고 간주되는 마지막 만기 지점.	- 통화별로 다르게 설정(예: EUR 20년, USD 30년, KRW 20년)	20Y -> 30Y으로 연장 - 2025년 : LOT 23Y	50Y
	선도금리가 LTFR에 충분히 가까워지는 시점.	Max(LLP + 40년, 60년)	60Y

[참고] 무위험 금리기간구조 (新제도(IFRS17/K-ICS) 보험부채 평가를 위한 할인율에 대한 이해)

〈 무위험 금리기간구조 (新제도(IFRS17/K-ICS) 보험부채 평가를 위한 할인율에 대한 이해 〉

4. Calibration

Calibration 요약

무위험 금리 지표 선택(국채 수익률, OIS 등)
신용 및 유동성 리스크 조정
만기별 금리 데이터 수집

4.1. $\alpha$ finding

K-ICS에서 부채평가 할인율 산출 시 alpha

speed of convergence (수렴속도, $\alpha$ )는 참고 논문에서는 상수를 가정하였으나, K-ICS에서는 최초 수렴시점(60y)의 선도금리와 장기목표금리 간의 차이가 1.0bp이내가 되도록 하는 최소값을 산출하여 적용하도록 함.

$t$ 시점의 단일현금흐름으로 구성된 자산의 현재 시장가치는 관측된 시장 금리에 수렴하는 할인율을 통해 계산된 현재 가치와 같음. 장기적으로, forward 금리 곡선은 LTFR로 점차 수렴하게 되며, t-> $\infin$ 일 때, 조정항(Correction)은 0에 수렴함.

Present market value

= PV_{LTFR} \pm Correction

• Correction = $\zeta_1\cdot(w_1) + \zeta_2\cdot(w_2)+ \dots +\zeta_N\cdot(w_N)$
• $w_j$ is obtained through a Kernal function $Kernel_j(t)$ that depends on the input’s maturity.

Wilson funtion

W(t, u_j) = e^{-LTFR \cdot(t+u_j)} \cdot \{\alpha\cdot min(t,u_j)-0.5\cdot e^{-\alpha \cdot max(t,u_j)} \cdot (e^{\alpha \cdot min(t,u_j)} - e^{-\alpha \cdot min(t,u_j)}) \}

– $u_i$ : 가격이 알려진 무이표채권의 만기 ; $i = \{1,2,...,N\}$
– $W(t, u_j)$ 는 t에 대한 함수로 Wilson funtion

위의 수식을 무이표채권의 가격을 윌슨함수의 조합으로 표현하면, 아래와 같다.

할인율 v(0,t)

m_t=v(0,t) = e^{-LTFR \small \cdot t} + \sum_{j=1}^N\zeta_j \cdot W(t , u_j)

시장에 이미 가격이 알려진 N개의 무이표채 가격을 이용하면 $\zeta$ 를 산출할 수 있으며, $p(t)$ 수식에 산출한 $\zeta$ 를 대입하면 만기 t에 대한 무이표채의 가격을 함수식으로 도출할 수 있음.

이 관계식으로 프로젝션 하고자 하는 만기구간에 대한 할인율을 도출할 수 있음.

v(t)

m=v(t) = e^{-LTFR \small \cdot t} + \sum_{j=1}^N\zeta_j \cdot W(t , u_j)

위의 할인율 함수를 이용하여 시장에서 관측된 만기별 무이표채의 가격을 행렬식으로 표현하면 아래와 같음.

market price

M = \mu +W\cdot \zeta

$M = \begin{bmatrix},m_1\\m_2 \\ \vdots \\m_j\\ \vdots \\m_N \end{bmatrix}$ , $\mu = \begin{bmatrix}e^{-LTFR\cdot t_1} \\e^{-LTFR\cdot t_2} \\ \vdots\\e^{-LTFR\cdot t_j}\\\vdots\\ e^{-LTFR\cdot t_N} \end{bmatrix}$ , $\zeta=\begin{bmatrix} \zeta_1 \\ \zeta_2 \\ \vdots \\ \zeta_j \\\vdots\\ \zeta_N \end{bmatrix}$ , $W = \begin{bmatrix} W(t_1,t_1),W(t_1,t_2), ... , W(t_1,t_N) \\ W(t_2,t_1),W(t_2,t_2), ... , W(t_2,t_N) \\ \vdots\\ W(t_j,t_1),W(t_j,t_2), ... , W(t_j,t_N) \\\vdots\\ W(t_N,t_1),W(t_N,t_2), ... , W(t_N,t_N) \end{bmatrix}$
$W(t, u_j) = e^{-LTFR \cdot(t+u_j)} \cdot \{\alpha\cdot min(t,u_j)-0.5\cdot e^{-\alpha \cdot max(t,u_j)} \cdot (e^{\alpha \cdot min(t,u_j)} - e^{-\alpha \cdot min(t,u_j)}) \}$

시장에 알려만 각 만기 $u_i$ 에 따라 만기별 무이표채 가격의 식이 전개됨. 관측되는 만기 구간의 수가 $N$ 이고, 추정할 보정 계수 $\zeta$ 도 $N$ 개 이기 때문에 $N \times N$ 정방행렬의 형태로 구성됨.

벡터 $\zeta$ 는 관측치( $M$ )와 장기 선도이자율( $\mu$ )에 대한 차이에 벡터 $W$ 의 역함수를 곱하여 산출함.

\zeta = W^{-1}\cdot(M-\mu)

$\zeta$ 를 구하면, 수식 $v(t) = e^{-LTFR \small \cdot t} + \sum_{j=1}^N\zeta_j \cdot W(t , u_j)$ 는 $t$ 에 대한 함수로 표현되므로 모든 만기 $t$ 에 대한 할인율을 산출할 수 있음.

5. 특성 및 장단점

정확한 시장 데이터 일치: Smith-Wilson 모델은 관찰된 모든 시장 금리와 정확히 일치하는 곡선을 생성함. 이는 캘리브레이션 과정에서 연립방정식을 풀어 달성함.
장기 수렴성: 모델은 마지막 관찰 지점 이후 선도금리(forward rate)가 사전에 정의된 LTFR로 점진적으로 수렴하도록 설계됨.
평활성(Smoothness): Wilson 함수의 특성으로 인해 생성된 금리 곡선은 자연스럽고 부드러운 형태를 가짐.
유연성: α 파라미터를 조정하여 LTFR로의 수렴 속도를 제어할 수 있음.

6. K-ICS 할인율 산출 절차

시장에서 관찰된 국고채 금리 입수

– 금융투자협회 채권정보센터
– 관찰 테너구간 : 0.25,0.5,0.75,1,1.5,2,2.5,3,4,5,7,10,15,20,30,50

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금융투자협회 채권정보센터

입수한 YTM을 Spot Rate으로 변환

– 국고채의 경우 이자지급주기 연2회를 가정함.
– 최종관찰만기 : 50년
– $\alpha$ 값은 0.1로 가정.
– LTFR은 50년물 YTM을 사용함. (2025/03 예시의 경우, 2.443%)

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1단계

〈 단계별 할인율 산출 〉

자산평가용 금리기간구조 산출

– 전 구간 tenor에 대해 보간 및 보외
– 최종관찰만기 : 50년
– $\alpha$ 값은 0.1로 가정.
– LTFR은 50년물 YTM을 사용함. (2025/03 예시의 경우, 2.443%)

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2단계

〈 단계별 할인율 산출 〉

부채평가용 금리기간구조 산출

– 전 구간 tenor에 대해 보간 및 보외
– 최종관찰만기 : 23년 (20Y -> 30Y 단계적 조정)
– $\alpha$ : 최초 수렴시점(60y)의 선도금리와 장기목표금리 간의 차이가 1.0bp이내가 되도록 하는 최소값 (init alpha=0.001)
– VA / LP : 매년 금감원 제공 / 2025년 : 0.382% (0.478%)
– LTFR (장기선도금리) : 매년 금감원 제공 / 2025년 : 4.3%

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〈 단계별 할인율 산출 〉

Smith-Wilson 방법론

1. 이론적 배경

2. 모델의 구성

3. Parameter

4. Calibration

4.1. α\alpha finding

4.2 ζ\zeta 및 할인율 산출

5. 특성 및 장단점

6. K-ICS 할인율 산출 절차

시장에서 관찰된 국고채 금리 입수

입수한 YTM을 Spot Rate으로 변환

자산평가용 금리기간구조 산출

부채평가용 금리기간구조 산출

4.1. $\alpha$ finding

4.2 $\zeta$ 및 할인율 산출