Hull-White 1 Factor 모델

1. TVOG와 Hull-White 모델

보험/연금 부채 평가에서 확정되지 않은 미래 금리를 어떻게 다룰 것인가?

K-ICS에서는 보험사의 지급여력 측정을 위해 부채의 경제적 가치를 산출하며, 이때 부채의 옵션(예: 금리보증)이나 금리변동 위험에 노출된 구조적 특징을 반영하기 위해서 확률론적 시나리오 기반 평가(stochastic valuation)로 금리 변동에 따라 영향을 받는 현금흐름 효과를 반영하여 측정한다.

K-ICS에서는 확률론적 시나리오를 생성하기 위해 Hull-White 1 Factor 모형을 사용하여 미래 1000개의 미래 금리 경로를 생성하고, 이를 바탕으로 각 시나리오별 부채의 현재가치를 산출한다. 이 시나리오의 변동성을 반영하여 산출되는 항목이 바로 TVOG(Time Value of Options and Guarantees)이다.

즉, Hull-White 모형은 보험부채에 내재된 옵션성 가치의 측정 도구로, 이 모형을 통해 금리보증(GMDB, GMWB 등), 부리형 상품, 해지 옵션 등의 가치를 경제적으로 평가할 수 있다.

2. 모델의 구성

확률론적 금리 시나리오는 단기금리의 확률적 경로를 바탕으로 생성된다. 단기금리란 특정 시점의 무위험 이자율 수준을 의미하며, 이를 확률과 시간의 함수로 모델링함으로써 전체 수익률곡선을 유도할 수 있다.

Hull-White 1 Factor 모형은 이러한 단기금리의 확률적 움직임을 수학적으로 정의한 대표적인 모델로, 다음과 같은 기본 구조를 갖는다.

• – drift : $\alpha (t) \cdot [ \theta(t) - r(t)]dt$
  결정적 부분, 현재 이자율 $r(t)$이 장기평균 $\theta(t)$ 보다 낮으면 증가, 높으면 감소하여 평균으로 회귀하려는 경향을 나타냄. $\alpha (t)$ 가 클수록 더 빠르게 평균 수준으로 회귀함. $\theta(t)$는 시장금리 커브와 일치조건에 따라 역산됨.
• – diffusion : $\sigma \cdot dW(t)$
  모형에서 확률적 부분으로 금리의 무작위적 변동부분을 나타냄. 평균은 0이고 분산은 시간에 비례함.

아래에서는 Hull-White one factor 모형의 모수를 스왑션 변동성 데이터를 기반으로 파라미터 추정, 시나리오 생성 및 검증 방법 등을 단계적으로 설명한다.

3. Parameter

시장 데이터는 연속적이지 않기 때문에 평균회귀 속도와 변동성에 대한 매개변수도 불연속적인 경우로 다룬다. 특히, 금리 시계열은 구간(단기구간, 장기구간)에 따라 성질이 다르므로  , 모수 역시 구간별 상수(Stepwise constant) 형태로 구분하여 추정한다.

4. Cailibration

err += Math.pow( (this.swpnPriceAtm[k][l] - swpnPrcHw[i][j]) / this.swpnPriceAtm[k][l], 2); 

5. 시나리오 산출

단기금리(Short Rate)가 다음의 프로세스를 따르기 때문에

위의 식을 이산화하면 다음과 같음.

• – 난수 생성기를 이용하여 [0,1] 균등 분포를 따르는 난수를 추출한다. 이렇게 추출된 난수는 정규 분포를 따르는 난수 $\epsilon_t \thicksim N(0,1)$로 변환된 후, 캘리브레이션으로 산출된 모수와 함께 단기 금리 시나리오를 산출하는 데 사용된다.
• – 이 때, 난수의 변환은 균등 분포 난수를 정규 분포의 누적 분포 함수(CDF)의 역함수에 대입하여, 정규분포를 따르는 난수로 변환한다.

6. 적정성 검증

K-ICS에서는 보험회사가 산출한 확률론적 금리시나리오에 대한 모수적정성, 난수적정성, 결과적정성 검증 등 다음의 내용이 포함된 시나리오 유효성 검증보고서를 위험관리위원회에 보고하여야 하도록 규정하고 있다. 이를 통해 통제 가능하고 재현 가능한 시나리오 체계를 구축하여, 회사에서 자율적으로 산출한 시나리오의 적정성을 검증하여 신뢰성을 높이는 것이 목적이다.

6.1. 모수 적정성

모수는 최적해를 효율적으로 찾을 수 있는 알고리즘에 기반하여 산출되어야 한다. (4절 Cailibration 참조)

추정된 모수를 통해 산출한 모형가격과 시장가격의 차이가 최소화되어야 한다.

• – 시장에서 관측되는 스왑션 변동성을 이용해 산출한 ATM 스왑션 가격과 Hull-white 모형으로 산출한 ATM 스왑션 가격의 상대 오차의 제곱 합을 최소화하는 모수 세트를 산출하며, 시장가격과 모형가격과 차이를 모니터링하여 모형이 시장을 잘 설명하는지 확인한다.

시장데이터 일부를 변경하여 모수를 추정하더라도 모수가 안정적로 산출되어야 한다.

• – 모수 유효성 검증

  • • 검증방법 : 변동성 모수의 초기값을 (0001, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05)로 변경하여 추정한 모수가 안정적으로 동일한 해를 찾는지 검증
  • • 검증목적 : localy minimum이 아닌 global minimum을 찾는지 검증. cost 함수가 급격히 변하는 구간이 존재하거나, 초기값에 따라 localy minimum에 빠지는 경우가 발생할 수 있음.
  • • 검증결과 : 모수 추정 결과가 초기값에 관계없이 안정적으로 동일한 해를 찾는지 확인.

• – 모수 안정성 검증

  • • 검증방법 : 금리 $\pm 1bp$ 및 스왑션변동성 $\pm 1bp$를 변경하여 모수를 재추정하고, 모수의 변화가 크지 않은지 검증
  • • 검증목적 : 금리 모형이 현재 시장의 기대를 설명하는 모형이기 때문에 금리 및 변동성의 작은 변화에도 모수가 안정적으로 추정되어야 함. 모형이 특정 시점의 시장데이터에 과적합된 경우, 시장데이터의 작은 변동에도 모수가 크게 바뀔 수 있음.
  • • 검증결과 : 모수의 변화가 크지 않으면 모수 적정성 인정.

블랙 변동성과 노말 변동성 중 금리 환경 및 시나리오 추정 등에 적합한 데이터 사용, 변경이 있는 경우 변경내역, 변경사유 등을 명시하고, 변경 전과 후 기준에 따른 결과 등이 분석해야 한다.

6.2. 난수 적정성

Hull-White 모형에서 난수는 이자율의 불확실성을 모델링하는 요소로, 금리 경로의 무작위성을 생성하는데 사용된다. 난수로 확률 충격을 발생시키고 이를 누적해서 금리 경로를 생성한다. 시뮬레이션 결과의 신뢰도 확보와 검증의 효율성을 위해 다음과 같은 난수의 특성을 만족해야 한다.

일반적으로 사용하는 난수는 의사 난수(Pseudo Random Number)를 사용한다. 의사난수는 수학적 알고리즘으로 난수처럼 보이는 수열을 생성하는 방식이다. Seed 값에 따라 항상 동일한 난수열을 재현할 수 있다.

개별 시나리오에 적용되는 난수는 경과기간별로 독립적이어야 한다.

• – 시뮬레이션의 각 시계열 단계($\Delta t$)에서 생성되는 난수($\epsilon_t$)가 서로 독립적이어야 한다. 즉 현재시점의 금리변화에 사용된 난수가 다음 시점의 금리변화에 사용될 난수에 영향을 미치지 않아야 하는 것을 의미한다.
• – Runs Test :
  생성된 난수 수열의 무작위성과 독립성을 평가하는 비모수통계 검정방법으로, 난수 수열에 특정 패턴이나 추세가 존재하는지 확인하는 방법이다. ‘런(Run)은 어떤 기준을 만족하는 연속된 동일한 결과들의 시퀀스를 의미한다. 예를들어 증가/감소 기준에 따라 런을 구분한다면, 각 숫자가 바로 이전 숫자보다 증가하는지, 감소하는지, 또는 동일한지 여부를 기준으로 런을 관찰한다. 무작위 수열이라면 ‘런’의 길이와 ‘런의 총 갯수’가 특정 통계적 분포를 따라야 한다. 런의 총 갯수가 너무 적으면 난수 수열에 장기적인 추세나 패턴이 존재할 가능성이 높음을 의미한다.(독립성 위배) 반대로 런의 총 갯수가 너무 많으면 난수 수열이 너무 자주 바뀌는 경향을 의미하며, 인위적으로 조작된 것처럼 보일 수 있다. (독립성 위배)
• – Scatter Plot (산점도 시각화) :
  특정한 패턴 없이 평면 전체에 고르게 퍼진 분포를 보여야 하며, 특정 선형이나 곡선 패턴이 관찰되면 독립성이 떨어진다고 판단할 수 있음.

각 시나리오에 적용되는 난수의 분포는 매 경과기간마다 정규성을 만족하여야 한다.

• – 각 시계열 단계($\Delta t$)에서 생성되어 시뮬레이션에 사용된 $\epsilon_t$가 표준정규분포 $N(0,1)$을 따라야 한다.
• – Q-Q 플롯 (Quantile-Quantile Plot) :
  생성된 난수($\epsilon_t$)들을 오름차순으로 정렬한 후, 각 난수의 분위수를 이론적인 표준정규분포의 분위수와 비교하여 산점도를 그린다. 난수들이 정규분포를 따른다면 점들이 $y=x$ 직선 주변에 밀집되어 나타나야 한다. 직선에서 벗어나면 정규성을 만족하지 않는다는 의미이다.
• – Jarque-Bera Test :
  난수 집합의 왜도와 첨도를 계산하여 Jarque-Bera 검정을 테스트한다. P-Value가 유의수준보다 커서 귀무가설 (정규성)을 기각하지 못해야 한다.
• – Kolmogorov-Smirnov Test :
  난수의 경험적 누적분포함수와 표준정규분포의 이론적 CDF 사이의 최대 차이를 검정하는 방법이다. P-Value가 유의수준보다 커서 귀무가설 (정규성)을 기각하지 못해야 한다.

난수는 최소 10개 이상의 난수 집합을 생성한 후, 그 중 결과적정성이 가장 우월한 난수 를 선정하고, 매 평가시점마다 동일하게 적용하여야 한다. 다만, 결과적정성 검증 기준을 충족하지 못하는 경우에만 난수를 변경할 수 있다.

6.3. 결과 적정성

확률론적 금리 시나리오의 평균이 수익률 곡선과 통계적으로 일치하여야 한다.

마팅게일 테스트는 자산의 가격에 대한 특성이므로, 시뮬레이션을 통해 산출된 미래 특정 만기 무이표채 현가들의 평균 ($\bar X$)과, 현재 시장의 수익률 곡선에서 결정론적으로 계산된 동일 만기 무이표채 현가($\mu$)가 통계적으로 일치하는지를 검증한다. 이는 $\mu$ 가 ($\bar X$)의 95% 신뢰구간 $(\bar X-1.96SE, \bar X +1.96SE)$ 내에 위치하는지 확인함으로써 판단할 수 있다. ($SE$ : 시나리오 할인 곡선의 무이표채 현가의 표준오차)