3.1 금리 리스크

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3.1 금리 리스크

3.1.1 Definition

금리 위험은 금리 수준 또는 변동성이 예상과 다르게 변화하여 자본 자원(capital resources) 가치가 불리하게 변동할 위험으로 정의됨.

• 여러 독립적인 요인에서 발생하는 시나리오별 손익을 집계하여 산출함.

3.1.2 ICS methodology

ICS에서는 금리 위험을 개별 통화 단위(per currency basis)로 평가하며, 스트레스 결과를 통합하여 최종 금리 위험 자본 요구량을 산출함.

• 통화 간 및 동일 통화 내 개별 스트레스 시나리오 간의 선형 상관관계를 반영하여 집계됨.

통화별 스트레스 시나리오는 두 가지 단순화를 적용한 동적 넬슨시겔 모델을 기반으로 설정됨.

모델의 구조가 K 행렬을 결정하며, 평균회귀(mean-reversion) 특성을 대각행렬로 제한함.
모델 결과에서 스트레스 시나리오를 산출할 때, 주성분 분석(Principal Component Analysis)과 유사한 접근 방식을 사용하여 개별 스트레스 시나리오 개수를 줄임.

이러한 단순화로 인해 3개의 개별 시나리오가 도출됨.

평균회귀 시나리오
대칭적으로 설정된 두 개의 추가 시나리오

스트레스 시나리오는 무위험 수익률 곡선(risk-free yield curve) 구축에 사용되는 세그먼트 구조와 정합성을 유지함.

• 스트레스 결과는 곡선의 첫 번째 구간에만 적용됨.
• 첫 번째 세그먼트 종료부터 세 번째 세그먼트 시작까지의 구간은 스미스-윌슨(Smith-Wilson) 방법을 활용하여 자동 조정됨.
• 세 번째 세그먼트의 스트레스 크기는 전문가 판단에 따라 10%로 설정되며, 연간 최대 변동폭(15bp)으로 상한 제한됨.

금리 위험 계수는 다음과 같이 계산됨.

금리위험계수

max \Bigg(0, \sum_{i} MR_i + Var_{99.5}\Big(\sum_i LT_i\Big)\Bigg)

• $i$ : 금리 위험에 익스포져가 있는 모든 통화
• $MR_i$ : 통화 $i$ 의 평균회귀 시나리오 결과
• $LT_i$ : 통화 $i$ 의 금리 상승 및 하락 시나리오를 포함하는 확률 변수

통화 $i$ 에 대한 $LT_i$ 는 다음과 같이 정의됨.

LT

\dfrac{1}{N^{-1}(0.995)} \times (LU_i max(X_i,0)-LD_i min(X_i,0))

• $N^{-1}(0.995)$ : 표준 정규분포의 99.5% 분위수
• $LU_i$ , $LD_i$ : 각각 금리 상승 및 하락 시나리오의 결과
• $X_i$ : 표준 정규분포를 따르는 확률변수이며, 통화 $i$ 와 $j$ 의 상관계수 $corr(X_i, X_j)=0.75$

집계된 자본요구량을 닫힌 형태의 해(closed-form solution)로 직접 도출하는 것은 어렵기 때문에, 직접 시뮬레이션 방식으로 계산함.

• $\{X_i\}$ 확률 변수의 상관구조를 반영하여 다수의 시나리오를 생성한 후, 각 시나리오에서 $\sum_i LT_i$ 를 계산함.
• 최종 자본요구량은 모든 평균회귀 손실과 99.5% 분위수의 합으로 결정됨.

3.1.3 Calibration

각 통화의 스트레스 보정은 동적 넬슨-시겔(DNS) 모델의 최적 매개변수를 결정하는 방식으로 수행됨.

• DNS 매개변수의 시계열을 상태공간(state space) 모델로 설정하고 기법을 사용하여 로그우도(log-likelihood)를 극대화하는 파라미터( $\kappa_{11}$ , $\kappa_{22}$ , $\kappa_{33}$ , $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\theta_3$ , $\sigma_{11}$ , $\sigma_{21}$ , $\sigma_{22}$ , $\sigma_{31}$ , $\sigma_{32}$ , $\sigma_{33}$ )를 찾음.

위험계수 산출에 사용된 데이터는 2010년 1월 1일부터 해당 시점의 금리 곡선 데이터까지의 주간(weekly) 금리 관측치로 구성됨.

• 사용된 만기: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,30년 (데이터 가용성에 따라 조정됨).
• 각 연도별 위험계수 산출 시, 이전 연도의 최적 매개변수를 초기값으로 사용하여 연속성을 유지함.

위험계수 산출을 위해 원시 데이터(raw dataset)에 별도의 필터링 조정을 적용하지 않음.

• 주간 금리 관측치는 동일한 방법론을 사용하여 제로쿠폰(Zero-coupon) 스팟 금리로 변환됨.
• 무위험 금리가 아닌 채권(예: 정부채)에는 신용 위험 조정(Credit Risk Adjustment) 10bp를 적용함.

DNS 모델에서는 시점 𝑡에서의 금리 곡선을 다음과 같이 정의함.

t시점의 DNS curve

y_t(\tau) = L_t + S_t \Big( \dfrac{1-e^{-\lambda \tau}}{\lambda \tau} \Big) + C_t \Big( \dfrac{1-e^{-\lambda \tau}}{\lambda \tau} -e^{-\lambda \tau} \Big)

• 수준(Level, $L_t$ ), 기울기(Slope, $S_t$ ), 곡률(Curvature, $C_t$ )의 선형 조합으로 표현됨.

DNS 모델의 평균회귀 행렬이 대각 행렬로 제한되는 경우, 수익률 곡선 변화의 동적 특성은 다음과 같은 전이 방정식으로 설명됨.

\begin{bmatrix} dL_t \\ dS_t \\ dC_t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \kappa_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \kappa_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \kappa_{33} \end{bmatrix} \left[ \begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \theta_3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} L_t \\ S_t \\ C_t \end{bmatrix} \right] dt + \begin{bmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dW_t^L \\ dW_t^S \\ dW_t^C \end{bmatrix}

이 모델 사양을 기반으로, DNS 충격(Shock)은 다음 알고리즘을 사용하여 계산됨.

DNS shock algorithm

연말시점(이산형)의 금리 데이터를 이용하여 최소제곱법으로 L, S, C를 추정함.
- – 즉, L*Level Curve + S*Slope Curve +C*Curvature Curve 와 연말 시점의 금리데이터 간의 차이의 제곱 합이 최소화되도록 L, S, C를 선택함.
- – 이때 초기 벡터( $L$ , $S$ , $C$ )는 $V_0$ 로 지칭됨.
평균회귀 충격은 ( $L$ , $S$ , $C$ ) 벡터로 표현되며, 식은 다음과 같음:

(I-e^{-k})(\theta-V_0)

– 여기서 $I$ 는 3x3 단위행렬임. 이 DNS 곡선들의 선형 결합으로 연말금리 추정치를 조정함.

충격세트는 ( $L$ , $S$ , $C$ ) 벡터로 표현되며, 조건부 공분산 행렬의 제곱근 $M$ 에 정규 백분위수 $N^{-1}$ (0.995)를 곱하여 산출함.

M = \sqrt{(\sum\sum^T) \odot \Big( \dfrac{1-e^{-(K_i+K_j)}}{K_i+K_j} \Big)_{ij}}

– 이 때 $K = \begin{bmatrix} K_1 & 0 & 0 \\ 0 & K_2 & 0 \\ 0 & 0 & K_3 \end{bmatrix}$ , $\odot$ 는 Hadamard 곱 연산자

보험사들의 작업 부담을 줄이고, 이전에 사용된 주성분 분석(Principal Component Analysis, PCA)과 비교할 수 있도록, 사용 가능한 세 가지 충격에 대해 주성분 분석을 수행하고 가장 중요한 충격을 선택함.

N = \begin{bmatrix} LOT \; & 0 \;& 0 \\ 0 & a \; & 0 \\ 0 & 0 \; & b \end{bmatrix} M

• $LOT$ = Last Observed Term (eg 30 for USD)
• $a$ = $\sum_{tau = 1}^{LOT} \frac{1-e^{-\lambda\tau}}{\lambda \tau}$
• $b$ = $\sum_{tau = 1}^{LOT} \frac{1-e^{-\lambda\tau}}{\lambda \tau} - e^{-\lambda \tau}$
– 먼저 행렬 $NTN$ 을 대각화하고, $NTN$ 의 가장 큰 고유값을 가진 고유벡터 $e_1$ 를 산출함.( $\|e_1\|=1$ , 즉 정규환 고유벡터). 가장 작은 두 고유값을 가진 고유벡터는 버리고, 남은 충격은 $Me_1$ 로 정의됨.

최종 충격은 수준충격 Level shock = $N^{-1}(0.995) * Me_1$ 으로 정의됨.
실제 충격을 적용한 곡선은 연말 커브에 DNS커브들의 선형 결합을 더하거나 빼서 산출함. 이때 계수는 레벨 충격(Level shock) 벡터의 성분에서 가져옴.

– 예를 들어, 수준 충격이 $\begin{bmatrix} 0.03 \\ 0.002 \\ 0.01 \end{bmatrix}$ 라면
– 연도말 충격 커브는 $\pm N^{-1} (0.995)$ $*0.03$ Level Curve $+ 0.002$ Slope Curve $+ 0.01$ Curvature Curve)

여러 국가에서 운영되는 IAIG는 여러 통화에서 금리 위험에 노출되어 있음.

• 금리 리스크 합산은 통화 간 금리 위험 수준 확률 변수의 전체 공동 분포를 모델링하며, 통화 간 75%의 쌍별 선형 상관관계(pairwise linear correlation)를 가정함.
• 금융위기 시 금리 급등은 통화 간 상당한 상관관계를 보이지만, 정상적인 조건에서는 완전한 상관관계는 나타나지 않음. [0%, 25%, 50%, 75%, 100%] 척도에서 75%가 가장 적합함.
• 모델 복잡도를 제한하기 위해, 7개의 주요 통화에 대해서만 개별 시나리오 평가를 수행하며, 이는 정확성과 단순성 간의 균형을 맞추기 위한 선택임.

모니터링 기간 동안, 다변량 상관관계를 반영한 20,000개의 시뮬레이션을 수행하여 집계된 수준의 분위수를 평가함.

• 30,000개 시뮬레이션도 테스트했으나 정확도 개선 없이 보고 템플릿 크기만 증가하여 사용하지 않음.
• 독립적 정규분포 샘플을 생성 후, 촐레스키 분해(Cholesky Decomposition)를 사용하여 상관관계를 적용함.
• 정규 분포의 독립적인 난수는 Mersenne Twister 의사난수 생성기를 사용

Cholesky factorization of the covariance matrix

〈 Cholesky factorization of the covariance matrix 〉

Last updated on: 2025년 6월 13일

2.3 대재해리스크 3.2 비부도 스프레드 리스크