AFNS 모델

1. 개요

금리 위험액 측정

K-ICS 금리위험액은 1년간 금리변동에 따른 위험을 의미함. 이 위험액을 산출하기 위해 금리충격시나리오를 생성하며, 해당 금리충격시나리오에서 순자산치의 변동을 이용하여 금리위험액을 측정함. 이때 충격시나리오는 향후 1년간 99.5% 신뢰수준에서 발생할 리스크량이 되도록 산출함.

금리 충격 시나리오를 산출하기 위한 금리모형은 AFNS모형을 기반으로 하고 있음. AFNS모형은 DNS모형에 무차익거래 조건이 추가된 모형임.

DNS 모형 : 특정시점의 금리 기간구조를 설명하는 Nelson-siegel 모형에 시간에 따른 확률 과정을 추가하여 미래 금리 기간구조를 예측하는 모형으로, 특정 시점의 금리 기간구조를 (수준, 기울기, 곡도) 라는 3개의 상태변수로 구분하여 설명함. 즉, 관측되지 않은 상태변수(수준, 기울기, 곡도) 변화의 예측을 기반으로 관측변수 (미래 금리 기간구조)의 변화를 예측하는 모형.

평가 대상 및 필요 할인율 시나리오

한편, 금리위험액은 순자산의 가치변동을 산출하기 때문에 부채 평가 할인율 뿐만 아니라. 자산의 가치변동을 측정할 수 있도록 자산 평가 시나리오에도 금리 충격시나리오를 적용해야 함.

2. DNS, AFNS 모형의 구조

상태공간(state-space)모형

미관측 잠재요인(수준, 기울기, 곡도) 으로v관측변수(금리)를 설명하는 모형. 아래 3가지 미관측 잠재요인에 따라 실제 관측되는 만기별 이자율 기간구조를 설명함.

모형 비교 (DNS vs. AFNS)

AFNS모형은 DNS모형에 무차익거래 조건이 추가된 모형으로 차익거래가 발생하지 않도록 조정항$\frac{A(\tau)}{\tau}$이 포함됨.

3. 모수추정

• 관측방정식은 요인에 대한 선형모형으로 표현되므로 칼만필터를 이용하여 모수를 추정함.
• 상태-공간 모형의 모수 추정에 주로 사용되는 칼만필터(Kalman filter)를 이용한 최우추정법(Maximum likelihood method)을 통해 모수를 추정

0) Calibration 전제조건

• week 단위의 시계열 데이터 사용 ((ICS) 2010년부터 주별 무위험수익률 시계열 자료 활용 -> 2008 금융위기 이후 통화정책 변화를 고려하여 2010 년 이후 데이터를 활용)
• 관측방정식의 오차항을 만기별 독립
• 동일한 분산($\epsilon$)으로 가정
• 총 14개의 모수 추정 ( $\lambda, \kappa_1, \kappa_2, \kappa_3, \theta_1, \theta_2, \theta_3, \sigma_{11}, \sigma_{21}, \sigma_{22}, \sigma_{31}, \sigma_{32}, \sigma_{33}, \epsilon$ )

1) 초기모수 산출

횡단면 금리기간구조와 상태변수의 시계열 변화 (전이과정)를 독립적으로 분해하여 단계적으로 모수를 추정함.

• 개별 요인이 $X_t (L_t, S_t, C_t)$ 평균회귀모형을 따른다고 가정하고 모수를 우선 추정

(step 1) 각 시점별 상태변수 $X_t (L_t, S_t, C_t)$와 $\lambda$ 추정

Nelson-Siegel 모델의 $\lambda$ 가 결정되면 $L_t, S_t, C_t$ 의 값은 회귀분석을 통해 산출 할 수 있음. (t 시점 넬슨시겔 모형에 따른 상태변수를 추정하여 상태변수의 시계열 데이터 생성)

• 각 시점별 상태변수 $X_t (L_t, S_t, C_t)$와 $\lambda$ 추정.
• 넬슨시겔 모형에서 spot rate는 상태변수 (요인)와 요인 부하량의 선형결합으로 설명되므로
• $\lambda_0=0.5$값을 최소자승법 (OLS) 최적화를 통해 시점별 상태변수 산출.
• $\begin{pmatrix} L_t \\S_t\\ C_t \end{pmatrix}= argmin_{(L_t,S_t, C_t)} \displaystyle\sum_{n=1}^N\Big[y_t(\tau_n)^{mkt} - \Big\{L_t + S_t \big(\tfrac{1-e^{-\lambda\tau_n}}{\lambda\tau_n}\big)+C_t\big(\tfrac{1-e^{-\lambda\tau_n}}{\lambda\tau_n}-e^{-\lambda\tau_n}\big) \Big\} \Big]^2$

(step 2) 최적 $\lambda$ 값 산출

• 전 시점의 오차제곱합을 합산한 전체 오차제곱합을 최소화 시키는 $\lambda$값을 최적화를 통해 산출.
  • $\epsilon_t = \displaystyle\sum_{t=1}^T\displaystyle\sum_{n=1}^N\Big[y_t(\tau_n) - \Big\{L_t + S_t \big(\tfrac{1-e^{-\lambda\tau_n}}{\lambda\tau_n}\big)+C_t\big(\tfrac{1-e^{-\lambda\tau_n}}{\lambda\tau_n}-e^{-\lambda\tau_n}\big) \Big\} \Big]^2$
  • $\lambda^{opt} = argmin_{\lambda} \displaystyle\sum_t^T \epsilon_t$

(step 3) 회귀분석 (시계열 모수 추정)

t+1 시점 상태변수의 확률과정의 모수를 독립적으로 추정

• 상태방정식을 이산화하여 변동성항은 제외하면 차기 상태변수와 당기 상태변수가 선형관계가 됨.
• $X_{t+1} = (I_{(3)}-e^{-\kappa})\cdot\theta + e^{-\kappa}\cdot X_t$
  • $L_{t+1} = \beta_{L,1} +\beta_{L,2}\cdot L_t + \epsilon^L_{t+1}$
  • $S_{t+1} = \beta_{S,1} +\beta_{S,2}\cdot S_t + \epsilon^S_{t+1}$
  • $C_{t+1} = \beta_{C,1} +\beta_{C,2}\cdot C_t + \epsilon^C_{t+1}$
• 최소자승법 (OLS) 최적화를 통해 $\beta_{i,1}, \beta_{i,2}$ 추정
• 추정된 $\beta_{i,1} \textstyle { : intercept}, \beta_{i,2} \textstyle { : slope}$ 를 이용해 $\kappa, \theta$의 초기값 산출
  • $\kappa_i = -\frac{ln\beta_{i,2}}{\Delta t}$, $\theta_i = \frac{\beta_{i,1}}{1-e^{-\kappa_i \Delta t}} = \frac{\beta_{i,1}}{1-\beta_{i,2} }$
• 추정되지 않은 모수의 초기값
  • $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11}, 0 , 0\\ \sigma_{21}, \sigma_{22}, 0 \\ \sigma_{31},\sigma_{32},\sigma_{33} \end{bmatrix}$
    • $e=\begin{bmatrix} e_{L_1},e_{L_2},e_{L_3},...,e_{L_{N-1}}\\ e_{S_1},e_{S_2}, e_{S_3},...,e_{S_{N-1}}\\ e_{C_1}, e_{C_2}, e_{c_3},...,e_{C_{N-1}} \end{bmatrix}$
      • $e_{L_n} = Y_{L_n} - (\hat\beta_{L1} + \hat\beta_{L2}\cdot X_{L_n})$
      • $e_{S_n} = Y_{S_n} - (\hat\beta_{S1} + \hat\beta_{S2}\cdot X_{S_n})$
      • $e_{C_n} = Y_{c_n} - (\hat\beta_{C1} + \hat\beta_{C2}\cdot X_{C_n})$
  • $\hat \Omega = \frac{1}{N-3}\cdot e \cdot e^T$
  • $\hat \Sigma = \frac{chol(\hat\Omega)}{\sqrt{\Delta_n}}$ 으로 설정
• $\epsilon = 0.001$

2) 모수 최적화

kalman filter 를 이용한 최우추정법 (Maximum likelihood method)으로 모수 추정. ( 칼만필터를 이용하여 계산한 로그우도값이 최대인 모수의 집합을 최적화 방식을 통해 추정 )